Da spontan keine weiteren Beiträge zu erwarten sind, möchte ich zwecks Übersicht zusammenfassen:

Eine Porto- und Gebührenfreiheit im Ortsverkehr begrenzte sich in Berlin ab 1868 auf "Königliche Angelegenheiten" plus einige wenige Ausnahmen. Ein regionaler Avisionierungsvertrag könnte es bis 1880 für das Porto gegeben haben.
Der Aversvertrag von 1894 ("Frei laut Avers 21") enthielt keine Vereibarung zur Avisionierung der Rohrpostgebühr.

Eine neue Situation ergibt sich für den Ortsverkehr 1915 in Berlin mit der Verf. 96 vom 30.3. mit der Überschrift "Stadtpostsendungen der Militär - und Marinebehörden".
Alle Dienstsendungen des Militärs und der Marine waren im Ortsverkehr grundsätzlich Porto- und Gebührenpflichtig – deshalb wurden in Friedenszeiten die Beförderung und Bestellung solcher Sendungen durch eigene Mitarbeiter (Soldaten und Matrosen im Rang eines Unteroffiziers) ausgeführt. In der Kriegszeit griff man daher lieber auf die Reichspost statt dem eigenen Personal zurück, siehe Amtsblatt Nr. 50 vom 2.April 1915, hier S. 203 mit der Verfügung Nr. 96 in welcher auch das Porto von dienstlichen Stadtpostsendungen per einem unnummerierten Portoablösungsvertrag an die Reichspost pauschal vergütet wurde; gültig ab dem 1.4.1915. Offen bleibt dabei die Frage, ob neben dem Porto auch eine Gebühr, also auch die Rohrpostgebühr, in diesem Vertrag genannt sind. Dem steht dagegen daß die sog. DRUBs (= Ganzsachenumschläge des Admiralstabes zur Rohrpostbeförderung),sehr wohl die jeweils aktuelle Rohrpostgebühr zeigen.

Ab ca. mitte 1918 wirds turbulent: Ein korrekt bezeichneter Brief wird zweifelsfrei von Schöneberg nach Friedenau ohne Taxierung per Rohrpost befördert; zu der Gegebenheit ist keine amtliche Vereinbarung o. ä. bekannt. Der rote handschriftliche Text bezieht sich dennoch auf eine solchige Vereinbarung.

Eine Eil-Bestellgebühr wird laut obigem Beitrag 313 ab dem 15.11 dem Demobilisierungsamt zugestanden - von einer Rohrpostgebühr steht vordergründig auch nichts darin, gleichwohl werden diese Sendungen bei freier Kapazität auch per Rohrpost befördert worden sein.